Question

函数 的单调递减区间为  

函数 的单调递减区间为

Answer 1

试题分析：首先令 ，得 ，即函数的定义域为 .又因为已知函数的底数为 ，而 在 上单调递减，在 上单调递增，根据复合函数的单调性，知函数 的单调递减区间为 . 点评：对于此类题目，学生应该准确分析组成复合函数的函数分别是什么，然后根据复合函数“同增异减”，判断函数的单调性及单调区间，另外需要特别注意的是要时刻注意函数的定义域，如果忽略定义域，很可能会出现错误的结论.

Answer 2

若函数y=f(x)在某个区间是减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

注：在单调性中有如下性质。图例：↑（增函数）↓（减函数）

↑+↑=↑　两个增函数之和仍为增函数

↑-↓=↑　增函数减去减函数为增函数

↓+↓=↓　两个减函数之和仍为减函数

↓-↑=↓　减函数减去增函数为减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数。
求函数单调区间的四种方法
1.定义法

例题
已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。

解 分析函数在R+上的单调性

任取x1>x2>0

Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2)

=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1)

令y1-y2>0
所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0

因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1

当3X2^2-1>=0时
即X2^2>=1/3
X2>=根号3/3时
y1-y2>0 函数是递增的

同理 当3X1^2-1<=0时 即X1<=根号3/3时
y1-y2<0 函数是递减的

故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3)

因此
a=根号3/3

一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。

2.图像法

例题 求y=x+3/x-1的单调区间

解 函数定义域为（-，1）并（1，+)

Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1

由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。

函数的图像是解决这类问题的关键。

3.性质法

性质：增+增=增 减+减=减

y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性
当k<0有相反的单调性

y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0
有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性

例题 求y=x^3+x的单调区间。

解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。

由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R.

4.复合法

u=p(x)
y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。

例题 求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。

解 令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u

当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增

当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减

Y=根号u递增

所以 原函数的单调增区间为[1,+)

减区间为（-，-1]