Question

已知函数f（x）的定义域为R，且对于一切实数x满足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x）（1）若f（5）=9

已知函数f（x）的定义域为R，且对于一切实数x满足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x）（1）若f（5）=9，求：f（-5）；（2）已知x∈[2，7]时，f（x）=（x-2） 2 ，求当x∈[16，20]时，函数g（x）=2x-f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值；（3）若f（x）=0的一根是0，记f（x）=0在区间[-1000，1000]上的根数为N，求N的最小值．

Answer 1

解（1）由f（x+2）=f（2-x）及f（x+7）=f（7-x）得：f（x）的图象关于直线x=2，x=7对称． ∴f（x）=f[（x-2）+2] =f[2-（x-2）]=f（4-x） =f[7-（3+x）]=f（7+（3+x）） =f（x+10） ∴f（x）是以10为周期的周期函数． ∴f（-5）=f（-5+10）=f（5）=9 （2）当x∈[16，17]，x-10∈[6，7] ∴f（x）=f（x-10）=（x-10-2） 2 =（x-12） 2 当x∈（17，20]，x-20∈（-3，0]，4-（x-20）∈[4，7） ∴f（x）=f（x-20）=f[4-（x-20）] =f（24-x）=（x-22） 2 ∴g（x）= 2x- (x-12) 2       x∈[16，17] 2x- (x-22) 2       x∈(17，20] ∵x∈[16，17]时，g（x）最大值为16，最小值为9；x∈（17，20]，g（x）＞g（17）=9，g（x）≤g（20）=36 ∴g（x）的最大值为36，最小值为9． （3）由f（0）=0，及f（0）=f（4）=0，知f（0）在[0，10）上至少有两个解． 而在[-1000，1000）上有200个周期，至少有400个解．又f（1000）=0 所以最少有401个解．且这401个解的和为-200．