Question

已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|（x∈R）．（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后

已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|（x∈R）．（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后在给定的坐标系中画出函数图象（不需列表）；（2）若函数f（x）在区间[a-1，2]上函数值随着自变量的增大而增大，试确定实数a的取值范围；（3）若集合{x∈R|f（x）≥1m}=R，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）根据绝对值的定义，化简函数为
f（x）=|x+1|+|x-1|=

?2x，x＜?1 2，?1≤x≤1 2x，x＞1

，
当x＜-1时，函数图象是直线y=-2x的一部分；当-1≤x≤1时，函数图象是直线y=2的一部分；
当x＞1时，函数图象是直线y=2x的一部分
由此可得函数的图象如下图

（2）由（1）得，函数的增区间为[1，+∞）
∵f（x）在区间[a-1，2]上单调递增，
∴1≤a-1＜2，解之得2≤a＜3
因此，实数a的取值范围为[2，3）；
（3）由（1）图象得，要使集合{x∈R|f（x）≥

1

m

}=R，
只要

1

m

≤f（x）（_min=2，解得m＜0或者m≥

1

2

，
所以实数m的取值范围m＜0或者m≥

1

2

．