Question

已知函数f（x）=log2（ax2+2x+3）（1）当a=-1时，求该函数的定义域和值域；（2）若函数f（x）的定义域为R

已知函数f（x）=log2（ax2+2x+3）（1）当a=-1时，求该函数的定义域和值域；（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；（3）如果f（x）≥1在区间[0，1]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=-1时，f（x）=log₂（-x²+2x+3）．
令-x²+2x+3＞0，解得-1＜x＜3
所以函数f（x）的定义域为（-1，3）．
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则0＜t≤4
所以f（x）=log₂t≤log₂4=2
因此函数f（x）的值域为（-∞，2]
（2）若函数y=log₂（ax²+2x+1）的定义域为R，∴ax²+2x+1＞0恒成立，
故有 a＞0，且△=4-12a＜0，解得 a＞

1

3

，
故所求的a的范围为（

1

3

，+∞）．
（3）f（x）≥1在区间[0，1]上恒成立等价于ax²+2x+1≥0在区间[0，1]上恒成立，
由ax²+2x+3≥0且x∈[0，1]时，
当x=0时，a∈R；
当≠0时，x²＞0，得a≥?

1+2x

x2

，
令g（x）=-

1+2x

x2

，
则g′(x)＝

2+2x

x2

，
又∵x∈[0，1]，故g′（x）＞0，
∴g（x）=-在x∈[0，1]是单调增函数，
故g（x）≤g（1）=-

1+2

12

＝?3，
∴a≥-3．