Question

已知a＞2，求证：log（a-1）a＞loga（a+1

已知a＞2，求证：log（a-1）a＞loga（a+1）

Answer 1

两种解法

对数函数单调性的讨论：

解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”的原则．

利用对数函数的图象解题：

涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a>l与O<a<l的两种不同情况，

Answer 2

解答：证明（法一）：∵log(a?1)a?loga(a+1)＝

1

loga(a?1)

?loga(a+1)
=

1?(loga(a?1))?(loga(a+1))

loga(a?1)

．
因为a＞2，所以，log_a（a-1）＞0，log_a（a+1）＞0，
所以，log_a（a-1）?log_a（a+1）≤[

loga(a?1)+loga(a+1)

2

]2
=

[loga(a2?1)]2

4

＜

[logaa2]2

4

＝1
所以，log_（a-1）a-log_a（a+1）＞0，命题得证．
证明2：因为a＞2，所以，log_a（a-1）＞0，log_a（a+1）＞0，
所以，

log(a?1)a

loga(a+1)

＝

1 loga(a?1)

loga(a?1)

＝

1

(loga(a?1))?(loga(a+1))

由法1可知：log_a（a-1）?log_a（a+1）≤[

loga(a?1)+loga(a+1)

2

]2
=

[loga(a2?1)]2

4

＜

[logaa2]2

4

＝1
∴

1

loga(a?1)?loga(a+1)

＞1．
故命题得证

Answer 3

首先用换底公式：
log(a-1)a=lga/lg(a-1)
loga(a+1)=lg(a+1)/lga
log(a-1)a/loga(a+1)=(lga)^2/lg(a-1)*lg(a+1)[1]
由均值不等式，
lg(a-1)*lg(a+1)<={[lg(a-1)+lg(a+1)]/2}^2=[lg(a^2-1)]^2/4
<[lg(a^2)]^2/4=(lga)^2
lg(a-1)*lg(a+1)<(lga)^2[2]
由1,2式
log(a-1)a/loga(a+1)>1
log(a-1)a大于loga(a+1)