Question

如图，在直角坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，1），E、F是线段AB上的两个动点，且∠EOF=45°

如图，在直角坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，1），E、F是线段AB上的两个动点，且∠EOF=45°，过点E、F分别作x轴和y轴的垂线CE、DF相交于点P，垂足分别为C、D、设P点的坐标为（x，y），令xy=k，（1）求证：△AOF∽△BEO；（2）当OC=OD时，求k的值；（3）在点E、F运动过程中，点P也随之运动，探索：k是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

解答：（1）证明：由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAF=∠OBE=45°；
又∵∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∠EOF=45°，
∴∠AOF=∠BEO，
∴△AOF∽△BEO．

（2）解：作OM⊥AB于M，则OM＝

1

2

AB＝

2

2

∵OC=OD，OA=OB=1，
∴CE=DF，
又∵∠OCE=∠ODF，
∴△OCE≌△ODF，
∴OF=OE，
∵∠EOM＝

1

2

∠EOF＝22.5°，又∠COE=∠AOM-∠EOM=45°-22.5°=22.5°=∠EOM
∴PC＝PD＝OC＝

2

2

，
∴k＝PC×PD＝

1

2

．

（3）解：如图，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，
∵△AOF∽△BEO，
∴

AF

OB

＝

OA

BE

，
∴AF×BE=OA×OB=1，
∵BE＝

2

HE，AF＝

2

FK，
∴

2

HE×

2

FK=1，即HE×FK=

1

2

，
∴PC×PD＝EH×FK＝

1

2

，
∴k的值为定值

1

2

．