Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与

已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段0B于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=-
2
x2+mx+n的图象经过A，C两点．

（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求证：∠BEF=∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2

2
+1）倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
重点是第四问，解不出来第四问不给分哦！还要说下原因。谢谢。

Answer 1

(1)
OC = AB = √[(-2 - 0)² + (0 - 2)²] = 2√2
C(2√2, 0)
抛物线过A(-2, 0), C(2√2, 0), 可表达为y = -(x + 2)(x - 2√2) = -x² - 2(1- √2)x + 4√2

(2)
AO =OB, ∠OAE = 45˚
∠BEF = 180˚ - ∠OEF - ∠AEO = 180˚ - 45˚ - ∠AEO = 135˚ - ∠AEO (180˚: 平角)
∠AOE = 180˚ - ∠OAE - ∠AEO = 180˚ - 45˚ - ∠AEO = 135˚ - ∠AEO (180˚: ∆AOE内角和)
∠BEF = ∠AOE

(3)
AB的方程: x/(-2) + y/2 = 1, y = 2 + x
△EOF为等腰三角形时, 显然∠EOF不可能为90˚, 有两种可能：EF = EO或FE = FO
(i) EF = EO
∠OEF的平分线与OF垂直，而且平分OF, 此时平分线与x轴平行, OE, EF的斜率显然互为相反数
设E(e, 2 + e), 则F(0, 4 + 2e), -2 < e < 0
OE的斜率p = tan(45°/2) = sin45°/(1 + cos45°) = √2 - 1
EF的斜率q = -q = 1 - √2
OE的方程: y = (1 - √2)x
E(-√2, √2)

(ii)FE = FO
∠OEF = ∠FOE = 45°, EF与OF垂直
OE的斜率 = tan(90° + 45°) = -1
OE的方程: y = -x
与AB的交点为E(-1, 1)

(4)
(3)中的(ii)的结果EF与x轴平行, 这里不考虑.
E(-√2, √2), F(0, 2√2)
EF的方程: y = (√2 - 1)x + 2√2
y = 0, x = -2(√2 + 2), D(-2(√2 + 2), 0)

是△EDG面积的（2
2
+1）倍? 这是什么？

追问

sorry 是（2√2+1）倍 大侠请解答，谢谢

追答

因为开始漏了x²的系数(-2), 现在重做.

(1)
OC = AB = √[(-2 - 0)² + (0 - 2)²] = 2√2
C(0, 2√2)
n = 2√2
y = -2x² + mx + 2√2
过A(-2, 0): -8 - 2m + 2√2 = 0
m = √2 - 4
y = -2x² + (√2 - 4)x + 2√2

(2)
不变

(3)
AB的方程: x/(-2) + y/2 = 1, y = 2 + x
△EOF为等腰三角形时, 显然∠EOF不可能为90˚, 有两种可能：EF = EO或FE = FO
(i) EF = EO
∠OEF的平分线与OF垂直，而且平分OF, 此时平分线与x轴平行, OE, EF的斜率显然互为相反数
设E(e, 2 + e), 则F(0, 4 + 2e), -2 < e < 0
EF的斜率p = tan(45°/2) = sin45°/(1 + cos45°) = √2 - 1
OE的斜率q = -p = 1 - √2
OE的方程: y = (1 - √2)x
E(-√2, 2 - √2)

(ii)FE = FO
∠OEF = ∠FOE = 45°, EF与OF垂直
OE的斜率 = tan(90° + 45°) = -1
OE的方程: y = -x
与AB的交点为E(-1, 1)

(4)
(3)中的(ii)的结果是EF与x轴平行, 这里不考虑.
E(-√2, 2 - √2), F(0, 4 - 2√2)
EF的方程: y = (√2 - 1)x + 4 - 2√2, (√2 - 1)x - y + 4 - 2√2 = 0
y = 0, x = -2√2, D(-2√2, 0)
EF = √[(-√2 - 0)² + (2 - √2 - 4 + 2√2)²] = √(8 - 4√2)
P(p, -2p² + (√2 - 4)p + 2√2)
P与EF的距离h = |(√2 - 1)p + 2p² - (√2 - 4)p - 2√2 + 4 - 2√2}/√[(√2 - 1)² + 1²]
= |2p² + 3p + 4 - 4√2|/√(4 - 2√2)
△EPF的面积S1 = (1/2)*EF*h = (√2/2)|2p² + 3p + 4 - 4√2|
因为P在直线EF的上方,
S1 = -(√2/2)(2p² + 3p + 4 - 4√2) (a)
PE的方程: ( y - 2 + √2)/[ -2p² + (√2 - 4)p + 2√2 - 2 + √2] = (x + √2)/(p + √2)
取y = 0, x = -√2 + [(√2 - 2)p - 2√2 + 2]/[ -2p² + (√2 - 4)p + 3√2 - 2]
G( -√2 + [(√2 - 2)p - 2√2 + 2]/[ -2p² + (√2 - 4)p + 3√2 - 2], 0)
△EDG的面积S2 = (1/2)DG*E的纵坐标
= (1/2)(2 - √2){ -√2 + [(√2 - 2)p - 2√2 + 2]/[ -2p² + (√2 - 4)p + 3√2 - 2] + 2√2] (b)
S1 = (2√2 + 1)S2
有两个解:
p = 0, P(0, 2√2), 与C重合
p = (√2 - 4)/2, P((√2 - 4))/2, 1+ 2√2)

前者很容易看出。后者我是通过图的帮助得到的，应当还有办法，不过我现在没找到。