Question

设f（x）为连续函数，且f(x)＝ex[1?∫x0f(t)dt]，求f（x）

设f（x）为连续函数，且f(x)＝ex[1?∫x0f(t)dt]，求f（x）．

Answer 1

因为f（x）=ex(1?

∫

x 0

f(t)dt)，
所以e^-xf（x）=1-

∫

x 0

f(t)dt．
两边对x求导可得，
e^-xf′（x）-e^-xf（x）=f（x）．
从而，
f′（x）=（1+e^x）f（x）．
分离变量可得，

f′(x)

f(x)

=1+e^x，
从而，
ln|f（x）|=x+e^x+

c

，
故f（x）=Cex+ex．
由f（x）=ex(1?

∫

x 0

f(t)dt)可得，
f（0）=1，
故 C=

1

e

．
从而，
f（x）=ex+ex?1．