Question

正三棱锥高为1，底面边长为2根号6，内有一球与四个面都相切

正三棱锥高为1，底面边长为2根号6，内有一球与四个面都相切
求：1）求棱锥的全面积；
2）求球的半径以及表面积

Answer 1

(1)（设三棱锥的编号为ABCD，A为顶点，BCD为正三角形，并设其中心点设为H，由题可知，AH为高，BC为地面边长，过A点作BC边的垂线，垂足为E，连接HE、HB，根据三角关系分别算出：
HE=√2，HB=2√2,AE=√3。

（2）在AH上取一点Q，使该点到底面的距离和该点到棱面得距离相等,即过Q点作面ABC的垂线，该垂线必与AE相交，交点为F，QF=QH（QF必为内切圆的半径）。
令QF=x，则AQ=1-x，根据三角形AQF与AHE相似的关系，必有 QF/HE=AQ/AE
即x/√2=（1-x）/√3
解得x=√6 - 2，即 内切圆半径QF=√6 - 2。

（3）内切圆的表面积S=（40-16√6 ）*PI
体积V=4/3*PI*(QF的立方）{自己算一下}

（这个是别人的答案，我帮你搜了一下复制过来了）