Question

如图，已知抛物线y=2x 2 ﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）写出以A，B，C

如图，已知抛物线y=2x 2 ﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l 1 与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l 2 上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．

Answer 1

（1）2；（2）（ ，8）或（ ，8）或（ ，4）或（ ，4）；（3）2m-2或

试题分析：（1）在二次函数的解析式 中，令y=0，求出x=±1，得到AB=2，令x=0时，求出y=-2，得到OC=2，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积； （2）先将y=6代入 ，求出x=±2，得到点M与点N的坐标，则MN=4，再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2，则P点纵坐标为8或4．分两种情况讨论：①当P点纵坐标为8时，将y=8代入 ，求出x的值，得到点P的坐标；②当P点纵坐标为4时，将y=4代入 ，求出x的值，得到点P的坐标； （3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①OB与BD边是对应边，②OB与QD边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可． 试题解析：（1）∵ ， ∴当y=0时，2x2-2=0，x=±1， ∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2， 又当x=0时，y=-2， ∴点C的坐标为（0，-2），OC=2， ∴ AB?OC ×2×2=2； （2）将y=6代入 ， 得 ，解得x=±2， ∴点M的坐标为（-2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4． ∵平行四边形的面积为8， ∴MN边上的高为：8÷4=2， ∴P点纵坐标为6±2． ①当P点纵坐标为6+2=8时， ，解得 ， ∴点P的坐标为（ ，8）或（ ，8）； ②当P点纵坐标为6-2=4时， ，解得 ， ∴点P的坐标为（ ，4）或（ ，4）； （3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，-2）， ∴OB=1，OC=2． ∵∠QDB=∠BOC=90°， ∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况： ①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ， 则 ，即 ，解得DQ=2（m-1）=2m-2， ②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB， 则 ，即 ，解得 ． 综上所述，线段QD的长为2m-2或 ．