Question

已知函数f（x）=sinxcosx+sin 2 x．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）设α∈（0，π），且f（α）=

已知函数f（x）=sinxcosx+sin 2 x．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）设α∈（0，π），且f（α）=1，求α的值．

Answer 1

（1）f（x）=sinx?cosx+sin 2 x= 1 2 sin2x+ 1-cos2x 2 = 1 2 (sin2x-cos2x)+ 1 2 = 2 2 sin(2x- π 4 )+ 1 2 ， 因为 -1≤sin(2x- π 4 )≤1 ， 所以 1- 2 2 ≤ 2 2 sin(2x- π 4 )+ 1 2 ≤ 1+ 2 2 ， 即函数f（x）的值域为 [ 1- 2 2 ， 1+ 2 2 ] ． 函数f（x）的最小正周期为 T= 2π 2 =π ． （2）由（Ⅰ）得 f(α)= 2 2 sin(2α- π 4 )+ 1 2 =1 ， 所以 sin(2α- π 4 )= 2 2 ， 因为0＜α＜π，所以 - π 4 ＜2α- π 4 ＜ 7π 4 ， 所以 2α- π 4 = π 4 ，   或2α- π 4 = 3π 4 ， 所以 α= π 4 ，   或α= π 2