Question

几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交

几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA?DC=GC?AD；（2）求BM．

Answer 1

（1）证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°
又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°
又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）（3分）
所以Rt△AGB和Rt△DCA相似
所以

BA

AD

＝

AG

DC

又因为OG⊥AC，所以GC=AG
所以

BA

AD

＝

GC

DC

，即BA?DC=GC?AD（5分）
（2）解：因为AC=12，所以AG=6，
因为AB=10，所以BG＝

AB2?AG2

＝8
由（1）知：Rt△AGB～Rt△DCA，．所以

AB

AD

＝

BG

AC

（8分）
所以AD=15，即圆的直径2r=15
又因为AB²=BM?（BM+2r），即BM²+15BM-100=0
解得BM=5（10分）．