Question

已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1-x2）（xl-2x2）=?32

已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1-x2）（xl-2x2）=?32成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．（2）求使x1x2+x2x1?2的值为整数的实数k的整数值．

Answer 1

（1）根据题意，得
△=（-4k）²-4×4k（k+1）=-16k≥0．
解得k≤0．
又∵k≠0，∴k＜0．
由（2x₁-x₂）（x_l-2x₂）=?

3

2

得
2（x₁²+x₂²）-5x₁x₂=-1.5．
2（x₁+x₂）²-9x₁x₂=-1.5．
2-9×

k+1

4k

=-1.5
18k+18=28k，
解得k=1.8．
经检验k=1.8是方程2-9×

k+1

4k

=-1.5的解．
∵k＜0，∴不存在实数k．
（2）原式=

x 2 1 +x 2 2

x1x2

-2=

(x1+x2)2?2x1x2

x1x2

-2=

(x1+x2)2

x1x2

-4=-

4

k+1

，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5．