Question

（2013?金华模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB

（2013?金华模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．（Ⅰ）证明：MC∥平面PAD；（Ⅱ）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）如图，取PA的中点E，连接ME，DE，
∵△PAB中，M、E分别为PB、PA的中点，∴EM∥AB且EM=

1

2

AB．
又∵AB∥DC，且DC=

1

2

AB，∴EM∥DC，且EM=DC
∴四边形DCME为平行四边形，∴MC∥DE，
又∵MC?平面PAD，DE?平面PAD，所以MC∥平面PAD；
（Ⅱ）取PC中点N，连接MN，则MN∥BC
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵AC²+BC²=2+2=AB²，∴AC⊥BC
∵PA∩AC=A，PA⊥BC，AC⊥BC．∴BC⊥平面PAC，
∵MN为△PBC的中位线，可得BC∥MN
∴MN⊥平面PAC，可得∠MCN为直线MC与平面PAC所成角，
∵NC=

1

2

PC=

3

2

，MC=

1

2

PB=

5

2

，
∴Rt△MCN中，cos∠MCN=

NC

MC

=

15

5

，
即直线MC与平面PAC所成角的余弦值为

15

5

．