Question

若函数f（x）对定义域中任意x，均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，

若函数f（x）对定义域中任意x，均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，（1）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x2+ax+1，求函数g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式；（2）已知函数f（x）=x2+mx+mx的图象关于点（0，1）对称，在（1）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t），求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，
∴g（x）+g（-x）=2，
∵当x∈（0，+∞）时，g（x）=x²+ax+1，
∴当x＜0时，g（x）=2-g（-x）=-x²+ax+1，
即g（x）=-x²+ax+1，x＜0；
（2）由题设，∵函数f（x）=

x2+mx+m

x

的图象关于点（0，1）对称，
∴f（x）+f（-x）=2，
∴

x2+mx+m

x

+

x2?mx+m

?x

=2
∴m=1，
∵f（t）=

t2+tm+m

t

＝t+

m

t

+m=t+

1

t

+1≥2

t? 1 t

+1＝3，其最小值为f（1）=3，
g（x）=-x²+ax+1=-（x-

a

2

）²+

a2

4

+1，
①当

a

2

＜0，即a＜0时，g（x）_max=

a2

4

+1＜3，即a²＜8，解得?2

2

＜a＜0，
②当

a

2

≥0，即a≥0时，g（x）_max＜1＜3，
∴a∈[0，+∞），
由①、②得a＞?2

2

，
故实数a的取值范围是a＞-2

2

．