Question

设f(x)=ax2+bx+c(a>0)且存在m`n∈R,使得(f(m)-m)2+(f(n)-n)2=0成立 （1）若a=1,当n-m>1且t<m时，是比较

f(t)与m的大小
（2）若直线x=m与x=n分别与f(x)的图像教育M`N两点，且M`N两点的连线被直线3（a2+1)x+(a2+1)y+1=0平分，求出b的最大值.

Answer 1

我来试试吧...希望LZ能追加点分...我过程详细点...

解：(1)a=1,f(x)=x²+bx+c,
存在f(m)=m,f(n)=n
方程x²+bx+c=x有两实根，x1=n,x2=m
即y1=x²+bx+c与y2=x的图象有两个交点A(m,m) B(n,n)
n-m>1,则A在B左侧
图象得f(x)在(-∞，m)上↓
t<m,故f(t)>m
(2)不妨设m<n,图象过A,B两点，
由题，A=M,B=N
MN连线的斜率k=1，m,n在y=x上
am²+bm+c=m
an²+bn+c=n
两式相减得a(m+n)(m-n)+b(m-n)=m-n
a(m+n)+b=1
解得 m+n=(1-b)/a
设MN中点G(x,y)，则G也在y=x上
又G在3(a²+1)x+(a²+1)y+1=0上
联立得到
3(a²+1)x+(a²+1)x+1=0,解得x=-1/[4(a²+1)]
又x=(m+n)/2=(1-b)/(2a)
从而
-1/[4(a²+1)]=(1-b)/(2a)
b=1+a/[2(a²+1)]，显然最大值在a>0上取得
考察函数h(a)=(a²+1)/a=a+1/a （a>0）
h'(a)=1-1/a²令=0，a=1
0<a<1,h'(a)<0,h(a)↓
1<a,h'(a)>0,h(a)↑
从而h(a)min=h(1)=2
b=1+1/[2h(a)]≤1+1/[2h(2)]=5/4
故b的最大值为5/4