Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3+x2[f′(x)+m2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：ln22×ln33×ln44×…×lnnn＜1n(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝

a(1?x)

x

(x＞0)（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）f′(2)＝?

a

2

＝1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g(x)＝x3+(

m

2

+2)x2?2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

(8分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴?

37

3

＜m＜?9（10分）
（Ⅲ）令a=-1此时f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n-1，
∴0＜

lnn

n

＜

n?1

n

∴

ln2

2

?

ln3

3

?

ln4

4

??

lnn

n

＜

1

2

?

2

3

?

3

4

??

n?1

n

＝

1

n

(n≥2，n∈N*)