Question

在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c=1．（1）若C= π 6 ，cos（θ+C）= 3

在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c=1．（1）若C= π 6 ，cos（θ+C）= 3 5 ，0＜θ＜π，求cosθ；（2）若C= π 3 ，sinC+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵C= π 6 ，cos（θ+C）= 3 5 ，0＜θ＜π， ∴sin（ θ+ π 6 ）= 1- 9 25 = 4 5 ∴cosθ=cos[（ θ+ π 6 ）- π 6 ]=cos（ θ+ π 6 ）cos π 6 +sin（ θ+ π 6 ）sin π 6 = 3 3 +4 10 ； （2）∵sinC+sin（A-B）=3sin2B， ∴sin（A+B）+sin（A-B）=6sinBcosB， ∴2sinAcosB=6sinBcosB， ∴cosB=0或sinA=3sinB， ∴B= π 2 或a=3b， 若B= π 2 ，C= π 3 ，则S= 1 2 c?c?tanA= 3 6 ； 若a=3b，C= π 3 ，则由余弦定理得a 2 +b 2 -ab=1 ∴ b 2 = 1 7 ， ∴S= 1 2 absinC= 3 28 3 ．