Question

（2014?黄浦区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=2，∠A=60°．（1）求证：BD⊥BC；（2）延长CB

（2014?黄浦区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=2，∠A=60°．（1）求证：BD⊥BC；（2）延长CB至G，使BG=BC，E是边AB上一点，F是线段CG上一点，且∠EDF=60°，设AE=x，CF=y．①当点F在线段BC上时（点F不与点B、C重合），求y关于x的函数解析式，并写出定义域；②当以AE为半径的⊙E与以CF为半径的⊙F相切时，求x的值．

Answer 1

解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H，
在Rt△AHD中，AH=AD?cosA=BC?cosA=1，
∵

AH

AD

＝

1

2

，

BC

CD

＝

1

2

，
∴

AH

AD

＝

BC

CD

，即

AH

BC

＝

AD

CD

．
又∵∠C=∠A=60°，
∴△AHD∽△CBD，
∴∠CBD=∠AHD=90°，
∴BD⊥BC；

（2）①∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∵∠BDH+∠HDA=90°，∠A+∠HDA=90°，
∴∠BDH=∠A=60°，
∵∠EDF=60°，
∴∠BDH=∠EDF，即∠EDH+∠BDE=∠FDB+∠BDE，
∴∠EDH=∠FDB，
又∵∠EHD=∠CBD=90°，
∴△EHD∽△FBD，
∴

DH

BD

＝

EH

BF

，
∴

3

2 3

＝

x?1

2?y

，
∴y=4-2x（1＜x＜2）；
②连接EF，分三种情况：
1°当点F在线段BC（点F不与点B、C重合）上时，
∵△EHD∽△FBD，
∴

DH

BD

＝

DE

DF

．即

DH

DE

＝

BD

DF

．
又∵∠BDH=∠EDF，
∴△BDH∽△FDE，
∴∠DEF=90°，
在Rt△EDH中，DE＝

EH2+DH2

＝

x2?2x+4

，
∴EF＝DE?tan60°