Question

设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（1）g1（x）=g（x）

设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（1）g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明．

Answer 1

由题设得，g（x）=

x

1+x

（x≥0），
（Ⅰ）由已知g₁（x）=

x

1+x

，
g₂（x）=g（g₁（x））=

x 1+x

1+ x 1+x

=

x

1+2x

，
g₃（x）=

x

1+3x

，…
可得g_n（x）=

x

1+nx

．
下面用数学归纳法证明．①当n=1时，g₁（x）=

x

1+x

，结论成立．
②假设n=k时结论成立，即g_k（x）=

x

1+kx

，
那么n=k+1时，g_k+1（x）=g（g_k（x））=

x 1+kx

1+ x 1+kx

=

x

1+(k+1)x

，即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N₊成立．
（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥

ax

1+x

恒成立．
设φ（x）=ln（1+x）-

ax

1+x

（x≥0），则φ′（x）=

1

1+x

-

a

(1+x)2

=

x+1?a

(1+x)2

，
当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），
∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，
又φ（0）=0，
∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．
∴当a≤1时，ln（1+x）≥

ax

1+x

恒成立，（仅当x=0时等号成立）
当a＞1时，对x∈（0，a-1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a-1]上单调递减，
∴φ（a-1）＜φ（0）=0，即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，
故知ln（1+x）≥

ax

1+x

不恒成立，
综上可知，实数a的取值范围是（-∞，1]．
（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

，
n-f（n）=n-ln（n+1），
比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n-ln（n+1）
证明如下：上述不等式等价于

1

2

+

1

3

+…+