Question

已知函数f（x）满足定义域在（0，正无穷大）上的函数，对于任意的x，y属于0到正无穷大，

都有f（xy）=f（x）+f（y），当且仅当x>1时，f（x）成立。
1.设x，y属于0到正无穷大，求证：f（y/x）=f（y）-f（x）
2.设x1，x2属于0到正无穷大，若f（x1）<f（x2），试比较x1与x2的大小

Answer 1

1：由定义可得一下式子：
f(y/x)=f(y)+f(1/x) ①
f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0 ②
f(1)=f(x·1/x)=f(x)+f(1/x)=0，即f(1/x)=-f(x) ③
将③代入①得：f(y/x)=f(y)-f(x)
2：在（0，正无穷）上取任意两个值x1，x2，且令x1＞x2
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)
所以[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=f(x1/x2)/(x1-x2)
因为x1＞x2，所以x1/x2＞1，所以f(x1/x2)＞0，且x1-x2＞0，故(x1/x2)/(x1-x2)＞0，也即是[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)＞0
根据函数单调性定义，[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)＞0也即说明函数在（0，正无穷大）上单调递增
故若f(x1)<f(x2)，那么x1＜x2