Question

已知实数abc,满足a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2,ab+bc+ca,1/3的大小关系

Answer 1

(a－b)²＋(b－c)²＋(c－a)²≥0 ===>>>> 2a²＋2b²＋2c²－2ab－2bc－2ac≥0
则：a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ca
(a＋b＋c)²=1 ===>>>> a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ac=1 ====>>> 3(ab＋bc＋ca)≥1 ===>>>
===>>> ab＋bc＋ca≥1/3
则：a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ca≥1/3

Answer 2

用特值法，令它们均为1／3，代入即得

Answer 3

(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1
a^2+b^2+c^2>=1/3>=ab+bc+ac

追问

怎么从这个
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1
得到答案的？

追答

2ab=1
a^2+b^2+c^2>=1/3
2)
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1
2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ac)=2
2(ab+bc+ac)+4(ab+bc+ac)<=2
ab+bc+ac<=1/3
当a=b=c=1/3取等号