Question

已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y^2=2px上,△ABCA的重心与此抛物线的焦点F重合

（1）写出抛物线的方程和焦点F的坐标
（2）求线段BC中点M的坐标
（3）求BC所在直线的方程

Answer 1

(1)把A(2,8)代入抛物线方程y^2=2px，
解得p=16
∴y^2=32x
焦点坐标F(8,0)
(2)设抛物线的重心为G(x0,y0)
则x0=(2+x1+x2)/3=8
y0=(8+y1+y2)/3=0
设M(xm,ym)
∴xm=(x1+x2)/2=11
ym=(y1+y2)/2= -4
即M(11,-4)
(3) y1^2=32x1
y2^2=32x2
两式相减得，
(y1-y2) /(x1-x2)=32 /(y1+y2)
设直线BC的斜率为k，则k=32/(y1+y2)= -4
∴BC所在直线的方程为：y+4= -4(x-11),即4x+y-40=0