Question

设常数a>0,函数f(x)=e^-x(ax^2+x-1),求在1~3范围函数的最大,小值

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Answer 1

因为函数h(x)=e^x在整个实数上是一个严格单调递增的函数，所以-x(ax^2+x-1)大，则f(x)大；-x(ax^2+x-1)小，则f(x)小。所以只需求-x(ax^2+x-1)的在x取1~3时的取值范围。
令g(x)=-x(ax^2+x-1)，令w(x)=x，令u(x)=ax^2+x-1,则g(x)=-w(x)*u(x)。
u(x)是开口向上的对称轴为x=-1/2a(对称轴x<0)的二次函数，那么在1~3上u(x)单调递增：从a(a>0)至9a+2；
w(x)显然在1~3上从1增至3；
那么g(x)在1~3上取值范围是-(27a+6)~-a。
从而f(x)的取值范围是e^(-27a-6)~e^(-a)
注：f(3)=e^(-27a-6)，f(1)=e^(-a)
另注：因为在1~3上，u(x)与w(x)都是单调的，且都总是大于零的，这样就可以直接将u(x)与w(x)两个端点的值相乘得到u(x)*w(x)的取值范围。如果u(x)不总是大于零的，那么即便它是单调的，也不鞥如此计算。