Question

高中等差等比数列问题

设{Ak}为等差数列,其公差d不等于0.巳知a1,a3和a7为一等比数列中的连续三项,且a1+a3+a7=70.
(a)求此等差数列的首项a1及公差d.
(b)求最小的n使得a1+a2+...+an>=2007.

Answer 1

设{Ak}为等差数列,其公差d不等于0.巳知a1,a3和a7为一等比数列中的连续三项,且a1+a3+a7=70.
(a)求此等差数列的首项a1及公差d.
(b)求最小的n使得a1+a2+...+an>=2007.
解：(a). a₃=a₁+2d；a‹7›=a₁+6d；故
a₁+a₃+a‹7›=3a₁+8d=70.............................(1)
又a₁，a₃和a‹7›是等比数列中的连续三项，故有：
(a₁+2d)²=a₁(a₁+6d)，即有：a₁=2d..........(2)
将(2)式代入(1)式，即得d=70/14=5， a₁=10；
(b) S‹n›=10n+5n(n-1)/2≧2007，5n²+15n-4014≧0，5n(n+3)≧4014，n(n+3)≧802.8
26×29=754；27×30=810>802.8，故最小的n=27.

Answer 2

a3的平方=a1xa7 又a1+a3+a7=70推出a1=10 ,d=5

Sn=(5/2)n^2+15n/2 n最小为27

Answer 3

a3=a1+2d, a7=a1+6d
a1,a3和a7为一等比数列中的连续三项: (a3)^2=a1 X a7
(a1+2d)^2=a1(a1+6d),得a1=2d ①
a1+a3+a7=70, 3a1+6d=70 ②
由①②解得d=35/6, a1=35/3
n X a1 + (n-1)d =(105n-35)/6≥2007,n=116