Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，求f（x）的单调性

请在8月11日晚上前回答，谢谢 ~~~~~~~~~~

Answer 1

我来试试吧...

解：1.a=0，f(x)=lnx+1,故f(x)在(0,∞)上↑
2.a≠0，f(x)=(a+1)lnx+ax²+1
f'(x)=(a+1)/x+2ax=[2ax²+(a+1)]/x
f"(x)=2a-(a+1)/x²
1.-1<a<0,f"<0,f'在(0,∞)上↓，
又f'=0时，x= √-((a+1)/2a)
从而0<x<√-((a+1)/2a)，f'>0
x>√-((a+1)/2a),f'<0
故f(x)在（0，√-((a+1)/2a)）上↑，在（√-((a+1)/2a)，∞)上↓
2.a<-1或a>0,(a+1)/(2a)>0,由双钩函数性质得
f(x)在(0,√((a+1)/2a))上↓，在(√((a+1)/2a),∞)上↑

Answer 2

显然函数定义域:x∈(0,+∞)
求导:f'(x)=(a+1)/x+2ax
=(2ax^2+a+1)/x
1.a=0
f'(x)=1/x>0
故f(x)在全域单增
2.a>0
f'(x)>0
故f(x)在全域单增
3.-1<a<0
令f'(x)=0
则x=根号下(-(a+1)/2a)
列表
x (0,根号下(-(a+1)/2a) 根号下(-(a+1)/2a) (根号下(-(a+1)/2a),+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
故f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减
4.a≤-1
f'(x)≤0
故f(x)在全域单减
综上a≥0时，f(x)域上单增
-1<a<0时，f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减
a≤-1时，f(x)在全域单减