Question

求函数y=x+根号下(4-x²)的值域.

如题

Answer 1

方法一：
令x＝2sinu，则√（4－x^2）＝2｜cosu｜，
∴y＝2（sinu＋cosu），或y＝2（sinu－cosu），
∴y＝2√2sin（u＋45°），或y＝2√2sin（u－45°），∴－2√2≦y≦2√2。
∴y＝x＋√（4－x^2）的值域是［－2√2，2√2］。

方法二：
∵y＝x＋√（4－x^2），∴y－x＝√（4－x^2），∴y^2－2yx＋x^2＝4－x^2，
∴2x^2－2yx＋y^2－4＝0。
∵x是实数，∴（－2y）^2－4×2（y^2－4）≧0，∴y^2－2（y^2－4）≧0，∴y^2≦8，
∴－2√2≦y≦2√2。
∴y＝x＋√（4－x^2）的值域是［－2√2，2√2］。

Answer 2

求函数y=x-2+根号下(4-x²)的值域.函数定义域是 -2≤x≤2,可设 x＝2sinθ,θ∈[-π/2,π/2],则：根号下(4-x^2)＝2cosθ (不带绝对值,因为 θ∈[-π/2,π/2])原函数即为 y＝2sinθ -2 + 2cosθ＝2(sinθ+cosθ)-2＝2√2
求函数y=x-2+根号下(4-x²)的值域.
函数定义域是 -2≤x≤2,可设 x＝2sinθ,θ∈[-π/2,π/2],
则：根号下(4-x^2)＝2cosθ (不带绝对值,因为 θ∈[-π/2,π/2])
原函数即为 y＝2sinθ -2 + 2cosθ＝2(sinθ+cosθ)-2＝2√2·sin(θ+π/4) - 2 .
因 -π/4≤θ+π/4≤3π/4 ,故 -√2/2 ≤sin(θ+π/4)≤sin(π/2)＝1,这一步怎么出来的的.为啥是≤sin(π/2)＝1?
于是 y 的值域是 [-4 ,2√2 - 2 ]
其中,√2 表示 根号2 .