Question

函数f(x)=(e^x－a)^2＋(e^（-x）－a)^2(0＜a＜2）的最小值为什么？？

要有过程！！

Answer 1

f(x)＝(e^x)^2－2ae^x＋a^2＋[e^(－x)]^2－2ae^(－x)＋a^2
＝e^(2x)－2ae^x＋a^2＋e^(－2x)－2ae^(－x)＋a^2
∴f '(x)＝e^(2x)·2－2ae^x＋e^(－2x)·(－2)－2ae^(－x)·(－1)
＝2e^(2x)－2ae^x－2e^(－2x)＋2ae^(－x)
＝2/e^(2x)·[e^(4x)－ae^(3x)－1＋2ae^x]
＝2/e^(2x)·{[e^(2x)＋1][e^(2x)－1]－ae^x[e^(2x)－1]}
＝2/e^(2x)·[e^(2x)＋1－ae^x][e^(2x)－1]
当0＜a＜2时，e^(2x)＋1－ae^x＞0恒成立
而当x＜1/2时，f '(x)＜0，函数f(x)单调递减；x＞1/2时，f '(x)＞0，函数f(x)单调递增
故函数f(x)在x＝1/2处取得最小值f(1/2)＝(√e－a)^2＋(1/√e－a)^2

Answer 2

提示：

展开，整理，凑配，代换（令t=e^x+e^(-x)，则t＞2），代入，整理得到关于t的二次式（含参数a），讨论，得到结果！