Question

已知函数f(x)=(-x²+ax)e∧x ⑴当a=2时，求函数f(x)的单调递增区间 ⑵是否存在a

已知函数f(x)=(-x²+ax)e∧x
⑴当a=2时，求函数f(x)的单调递增区间
⑵是否存在a，使函数f(x)为R上的单调递减函数？

Answer 1

故答案为：
(1)⎛ ⎜ ⎜ ⎝⎞⎟⎟⎠- 2， 2;

(2)[ 32，+∞);

(3)f(x)是不可能为R上的单调函数.

追问

要过程——

追答

解:

(1)当a=2时，f(x)=(-x²+2x)ex，f′(x)=-(x²-2)ex，

令f′(x)＞0，得x²-2＜0，∴− 2＜x＜ 2，

∴f(x)的单调递增区间是⎛ ⎜ ⎜ ⎝⎞⎟⎟⎠- 2， 2;

(2)f′(x)=[-x²+(a-2)x+a]ex，若f(x)在(-1，1)内单调递增，即当-1＜x＜1时，f′(x)≥0，
即-x²+(a-2)x+a≥0对x∈(-1，1)恒成立，
即a≥x+1− 1x+1对x∈(-1，1)恒成立，
令y=x+1− 1x+1，则y′=1+ 1⎛ ⎜ ⎝⎞⎟⎠x+12＞0
∴y=x+1− 1x+1在(-1，1)上单调递增，∴y＜1+1- 11+1= 32，

∴a≥ 32，

当a= 32时，当且仅当x=0时，f′(x)=0
∴a的取值范围是[ 32，+∞).
(3)假设f(x)是为R上的单调函数，则为R上的单调递增函数或单调递减函数
①若f(x)是R上的单调递减函数，则f′(x)≤0对任意的x∈R都成立，
即[-x²+(a-2)x+a]ex≤0对任意的x∈R都成立，
因为ex＞0，所以-x²+(a-2)x+a≤0恒成立，
故由△=(a-2)²+4a≤0，
整理得a²+4≤0，显然不成立，
即f(x)不可能为R上的单调递减函数.
②若f(x)是R上的单调递增函数，则f′(x)≥0对任意的x∈R都成立，
即[-x²+(a-2)x+a]ex≥0对任意的x∈R都成立，
因为ex＞0，所以-x²+(a-2)x+a≥0恒成立，
而函数h(x)=-x²+(a-2)x+a的图象是开口向下的抛物线，
所以-x²+(a-2)x+a≥0是不能恒成立的，
所以f(x)不可能为R上的单调递增函数.
综上所述，f(x)是不可能为R上的单调函数.

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谢谢

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