Question

已知函数f（x）=x的三次方+ax的平方-2x-3

（1）若函数f（x）在（1，+无穷）上单调递增，在（0,1）上单调递减，求实数a的值
（2）若f（x）在（1/3,1/2）上是单调递增函数，求a的取值范围

Answer 1

(1)由题意知,a=1是极小值,令f'(x)=0得:3x^2+2ax-2=0,所以x=1是方程3x^2+2ax-2=0的一个解
所以3+2a-2=0,所以a=-1/2
(2)由题意知f'(x)≥0在[1/3,1/2]上恒成立,即3x^2+2ax-2≥0在[1/3,1/2]上恒成立
令g(x)=3x^2+2ax-2,则g'(x)=6x+2a
当a<-3/2时,g'(x)<0在[1/3,1/2]上恒成立,所以只需g(1/2)=a-5/4≥0恒成立(舍,因为a<0)
当-3/2≤a≤-1时,令g'(x)=0得:x=-a/3,当x>-a/3,g'(x)>0,x<-a/3时,f(x)<0,所以x=-a/3是极小值
所以只需g(-a/3)=-a^2/3-2≥0恒成立(舍)
当a>-1时,g'(x)>0在[1/3,1/2]上恒成立,所以只需g(1/3)=2a/3-5/3≥0恒成立,所以a≥5/2
综上a≥5/2

Answer 2

楼上第二问错了，f(1/3)<f(1/2)不意味着f（x）在（1/3,1/2）上是单调递增函数！
解：
1，f（x）=x³+ax²-2x-3，
f’(x)=3x²+2ax-2，
由题意在（1，+∞）上f’(x)＞0，在（0,1）上f’(x)＜0；
可见x=1为f‘(x)=0的一个根，代人得 3+2a-2=0，a=-1/2；
2，f（x）在（1/3,1/2）上是单调递增函数，
则在（1/3,1/2）上f’(x)＞0恒成立，
即3x²+2ax-2＞0在（1/3,1/2）上恒成立，
a＞1/x-3x/2在（1/3,1/2）上恒成立，
因为1/x-3x/2在（1/3,1/2）上为减函数，x=1/3时，最大值趋于5/2，
所以a≥5/2。
O(∩_∩)O~

Answer 3

f（x）=x的三次方+ax的平方-2x-3
f'(x)=3x^2+2ax-2
(1) f（x）在（1，+无穷）上单调递增 在（0,1）上单调递减
则f(x)在x=1时，取得最小值
即f'(1)=2a+1=0 a=-1/2
(2) 若f（x）在（1/3,1/2）上是单调递增函数
则f(1/3)<f(1/2)
即3*(1/3)^2+2a*(1/3)-2<3*(1/2)^2+2a*(1/2)-2
a-(2/3)a>1/3-3/4
a/3>-5/12
a>-5/4
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O