Question

求几道关于高中课程直线与圆的方程的趣味数学题

Answer 1

蝴蝶定理
定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。 　　
∵△AMD∽△CMB 　　
∴AM/CM=AD/BC 　　
∵SD=1/2AD，BT=1/2BC 　　
∴AM/CM=AS/CT 　　
又∵∠A=∠C 　　
∴△AMS∽△CMT 　　
∴∠MSX=∠MTY 　　
∵∠OMX=∠OSX=90° 　　
∴∠OMX+∠OSX=180° 　　
∴O，S，X，M四点共圆 　　
同理，O，T，Y，M四点共圆 　　
∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX 　　
∴∠MOX=∠MOY ， 　　
∵OM⊥PQ 　　
∴XM=YM 　　
这个定理在椭圆中也成立，如图

1，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b>r>0）。 　　（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率 　　
（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2>0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4>0）。 　　求证：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4) 　　
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。 　　求证： | OP | = | OQ |。 　　
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下： 　　
（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。 （Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1 　　焦点坐标为 　　
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k?x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2， 　　
整理，得 　　(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0 　　
根据韦达定理，得 　　
x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)， 　　
所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ① 　　
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得 　　
x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ② 　　
由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4) 　　
所以结论成立。 　　
（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。 　　
由C，P，H共线，得(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4 　　
解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 　　
由D，Q，G共线，同理可得 　　
q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3) 　　
由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4) 　　
即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 　　
所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。