Question

X~N(0,1),求(1) Y=|X|的概率密度. 请写详细过程.谢谢~

课后答案如插图所示,不太明白红色字体是怎么出来的.

Answer 1

最简单的思路
由于Y是X绝对值的关系，原先X小于0的部分也变成大于0了
相当于原先横轴坐标=-1,-2,-3...的概率都叠加到横轴坐标=1,2,3...的地方，所有负半轴的图都叠加到正半轴去了，
所以y<0时什么也没有了，y>=0时吸收了负半轴的概率密度，由于原先的密度函数是对称的，所以改变之后的密度就成了两倍，就是答案里面的式子

硬算(这道题不推荐)
Fy(y)=P(Y<=y)
=P(|X|<=y)
=P(-y=<X<=y)
=∫(-y~y)fx(x) dx
=(1/根号(2π)) *∫(-y~y)e^(-x²/2) dx
y=|x|
x<0时，-dy=dx
x>0时 dy=dx
(1/根号(2π)) *∫(-y~y)e^(-x²/2) dx
=(1/根号(2π)) *{∫(-y~0)e^(-x²/2) dx +∫(0~y)e^(-x²/2) dx}
这里x<0 这里x>0
=(1/根号(2π)) *{∫(|-y|~|0|)e^(-x²/2) (-d|x|) +∫(|0|~|y|)e^(-x²/2) d|x|}
=(1/根号(2π)) *{-∫(y~0)e^(-x²/2) dy +∫(0~y)e^(-x²/2) dy}
=(1/根号(2π)) *{∫(0~y)e^(-x²/2) dy +∫(0~y)e^(-x²/2) dy}
=2*(1/根号(2π)) *{∫(0~y)e^(-x²/2) dy}
Fy(y)就是以上
对y求导得到的是前面系数乘以被积函数
fy(y)=根号(2/π)*e^(-y²/2) (y>=0)

Y是一个绝对值的分布，所以不存在y<0,所以fy(y)=0,(y<0)
觉得答案就错在等于号的问题上

因为新的密度不是连续函数，等号就不能随便放了
而绝对值是可以等于0的，所以答案说绝对值等于时0的密度为0是不对的。

Answer 2

解：∵y=|x| ∴y>=0
FY(y)=P(Y<=y)=P(|X|<=y)=P(-y<=X<=y)=P(X<=y)-P(X<=-y)=FX(y)-FX(-y)
对上式两边同时对y求导
fY(y)=fX(y)+fX(-y)
∵fX(y)=e^((-y^2)/2)/(√2π)
∴fY(y)=e^((-y^2)/2)/(√2π)×2
即fY(y)=e^((-y^2)/2)×（√2/π)
当y<0
FY(y)=P(Y<=y)=P(|X|<=y)=0
则fY(y)=0

Answer 3

x为正态分布 则y>0时也就是N（0，1）了所以我觉得答案是不正确啊