X~N(0,1）求Y=|X| 的密度函数 请有详细解释
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用定义做
FY(y)=P(Y<=y)=P(|X|<=y)=P(-y<=X<=y)
=P(X<=y)-P(X<=-y)
=P(X<=y)-(1-P(X<=y))
=2P(X<=y)-1
=2FX(y)-1
那么Y的密度函数fY(y)=(FY(y))'=(2FX(y)-1)'=2(FX(y))'=2fX(y)=2/√2πe^(-y^2/2)
所以Y的密度函数是fY(y)=2/√2πe^(-y^2/2)
y>=0
FY(y)=P(Y<=y)=P(|X|<=y)=P(-y<=X<=y)
=P(X<=y)-P(X<=-y)
=P(X<=y)-(1-P(X<=y))
=2P(X<=y)-1
=2FX(y)-1
那么Y的密度函数fY(y)=(FY(y))'=(2FX(y)-1)'=2(FX(y))'=2fX(y)=2/√2πe^(-y^2/2)
所以Y的密度函数是fY(y)=2/√2πe^(-y^2/2)
y>=0
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1)密度函数在区间上积分为1
∫(-1~1)k/(1
x²)dx=(-1~1)karctanx=karctan1-karctan(-1)=kπ/4-(-kπ)/4=kπ/2=1
∴k=2/π
2)e(x)=∫(-1~1)xf(x)dx=∫(-1~1)2x/π(1
x²)dx=∫(-1~1)d(x²
1)/π(x²
1)=(-1~1)ln(x²
1)/π=(ln2-ln2)/π=0
3)e(x²)=∫(-1~1)x²f(x)dx=∫(-1~1)2/π×x²/(1
x²)dx=(2/π)∫(-1~1)[1-1/(x²
1)]dx
=(-1~1)(2/π)(x-arctanx)=(2/π)[(1-arctan1)-(-1-arctan(-1))]=2/π×(2-π/2)=4/π-1
∫(-1~1)k/(1
x²)dx=(-1~1)karctanx=karctan1-karctan(-1)=kπ/4-(-kπ)/4=kπ/2=1
∴k=2/π
2)e(x)=∫(-1~1)xf(x)dx=∫(-1~1)2x/π(1
x²)dx=∫(-1~1)d(x²
1)/π(x²
1)=(-1~1)ln(x²
1)/π=(ln2-ln2)/π=0
3)e(x²)=∫(-1~1)x²f(x)dx=∫(-1~1)2/π×x²/(1
x²)dx=(2/π)∫(-1~1)[1-1/(x²
1)]dx
=(-1~1)(2/π)(x-arctanx)=(2/π)[(1-arctan1)-(-1-arctan(-1))]=2/π×(2-π/2)=4/π-1
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