X~N(0,1)求Y=|X| 的密度函数 请有详细解释 10
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设X的密度函数为φ(x)=(1/(√(2π))e^(-x²/2),
先求Y的分布函数
F(y)=P(Y≤y)
=P(|X|≤y)
下面讨论:
当y<0时,P(|X|≤y)=0,因此F(y)=0
当y≥0时,
P(|X|≤y)=P(-y≤X≤y)
=∫[-y→y] φ(x) dx
由于φ(x)是偶函数
=2∫[-0→y] φ(x) dx
则F(y)=2∫[-0→y] φ(x) dx y≥0
0 y<0
密度函数是分布函数的导数,因此
f(y)=F'(y)=2φ(y) y≥0
0 y<0
先求Y的分布函数
F(y)=P(Y≤y)
=P(|X|≤y)
下面讨论:
当y<0时,P(|X|≤y)=0,因此F(y)=0
当y≥0时,
P(|X|≤y)=P(-y≤X≤y)
=∫[-y→y] φ(x) dx
由于φ(x)是偶函数
=2∫[-0→y] φ(x) dx
则F(y)=2∫[-0→y] φ(x) dx y≥0
0 y<0
密度函数是分布函数的导数,因此
f(y)=F'(y)=2φ(y) y≥0
0 y<0
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用定义做
FY(y)=P(Y<=y)=P(|X|<=y)=P(-y<=X<=y)
=P(X<=y)-P(X<=-y)
=P(X<=y)-(1-P(X<=y))
=2P(X<=y)-1
=2FX(y)-1
那么Y的密度函数fY(y)=(FY(y))'=(2FX(y)-1)'=2(FX(y))'=2fX(y)=2/√2πe^(-y^2/2)
所以Y的密度函数是fY(y)=2/√2πe^(-y^2/2) y>=0
FY(y)=P(Y<=y)=P(|X|<=y)=P(-y<=X<=y)
=P(X<=y)-P(X<=-y)
=P(X<=y)-(1-P(X<=y))
=2P(X<=y)-1
=2FX(y)-1
那么Y的密度函数fY(y)=(FY(y))'=(2FX(y)-1)'=2(FX(y))'=2fX(y)=2/√2πe^(-y^2/2)
所以Y的密度函数是fY(y)=2/√2πe^(-y^2/2) y>=0
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