Question

已知m和n是正整数且m|n，证明 2^m-1|2^n-1 （声明-1不是在指数上） 谢谢！

Answer 1

方法一：
∵m｜n，∴可令n＝km，其中k是正整数。那么：2^n＝2^（km）＝（2^m）^k。
再令2^m＝A，得：
2^n－1＝（2^m）^k－1＝A^k－1＝（A－1）［A^（k－1）＋A^（k－2）＋···＋A＋1］。
显然，A^（k－1）＋A^（k－2）＋···＋A＋1是整数，∴（A－1）能整除（2^m－1），
即：（2^m－1）｜（2^n－1）。

方法二：
∵m｜n，∴可令n＝km，其中k是正整数。那么：2^n＝2^（km）＝（2^m）^k。
再令2^m＝A，得：2^n－1＝（2^m）^k－1＝A^k－1，设f（A）＝A^k－1。
由余数定理，f（1）＝1^k－1＝0，∴f（A）＝A^k－1能被（A－1）整除。
即：（2^m－1）｜（2^n－1）。

Answer 2

解：
∵m｜n
∴可令n＝km，其中k是正整数。
那么：2^n＝2^（km）＝（2^m）^k。
再令2^m＝A
得：2^n－1＝（2^m）^k－1＝A^k－1＝（A－1）［A^（k－1）＋A^（k－2）＋···＋A＋1］。
显然，A^（k－1）＋A^（k－2）＋···＋A＋1是整数
∴（A－1）能整除（2^m－1），
即：（2^m－1）｜（2^n－1）。

请采纳

Answer 3

设 n=km 2^m=x 那么 2^n-1=2^(km)-1=x^k-1=(x-1)(x^(k-1)+x^(k-2)+......+x+1)
从而2^m-1=x-1|2^n-1
更一般的结论 对于正整数x y n x^n-y^n=(x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+.....+xy^(n-2)+y^(n-1))
从而x-y|x^n-y^n