证明:若m和n互素，则2^m-1与2^n-1互素
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由(m,n) = 1, 存在正整数u, v使mu-nv = 1.
设d = (2^m-1,2^n-1), 则d | 2^m-1 | (2^m-1)(2^(m(u-1))+...+1) = 2^(mu)-1.
同理, d | 2^n-1 | 2^(nv)-1 | 2^(nv+1)-2 = 2^(mu)-2.
相减即得d | 2-1 = 1, 只有d = 1.
因此(2^m-1,2^n-1) = 1.
类似方法可证明: (a^m-1,a^n-1) = a^(m,n)-1.
设d = (2^m-1,2^n-1), 则d | 2^m-1 | (2^m-1)(2^(m(u-1))+...+1) = 2^(mu)-1.
同理, d | 2^n-1 | 2^(nv)-1 | 2^(nv+1)-2 = 2^(mu)-2.
相减即得d | 2-1 = 1, 只有d = 1.
因此(2^m-1,2^n-1) = 1.
类似方法可证明: (a^m-1,a^n-1) = a^(m,n)-1.
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