Question

初三超难几何竞赛题！

Answer 1

实话说这道题的知识背景是高中联赛中的一个比较高端的知识，但不用这个也可以解决。

证：
过A作BC的平行线，交⊙O于A、T
在ΔABD与ΔACD中，sin∠BAD/sin∠ABD=BD/AD，sin∠CAD/sin∠ACD=CD/AD
而BD=CD，所以sin∠BAD/sin∠ABD=sin∠CAD/sin∠ACD
又AT∥BC，所以∠ABD=∠TAB，∠ACD=180°-∠TAC
所以sin∠ABD=sin∠TAB，sin∠ACD=sin∠TAC
所以sin∠BAD/sin∠TAB=sin∠CAD/sin∠TAC，即sin∠EAD/sin∠TAE=sin∠FAD/sin∠TAF
再应用正弦定理，在每个正弦值前乘以2R，就得到DE/TE=DF/TF，即DE/DF=TE/TF
连接TM，设它于⊙O交于T、D'
在ΔMD'E与ΔMET中，∠M为公共角，∠MED'=∠MTE（弦切角），所以ΔMD'E∽ΔMET
所以有D'E/TE=ME/MT
同理也有D'F/TF=MF/MT
而ME=MF，所以D'E/TE=D'F/TF，即D'E/D'F=TE/TF
而随着D点在劣弧EF上又E运动至F，DE不断增大，DF不断减小，所以DE/DF单调递减
又DE/DF=D'E/D'F=TE/TF
所以D和D'重合，即T、D、M三点共线
而AD为直径，所以DT⊥AT
又因为AT∥BC，所以DT⊥BC，即DM⊥BC
证毕

Answer 2

证明过程请看下图：

字母位置不同，做法如出一辙：

Answer 3

给你提供一个比较好的答案：