Question

设f(x)=x3，等差数列｛an｝中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn=f（三次根号（an+1）），令bn=anSn,数列｛1/bn｝的

求证：Tn<1/3 ; 是否存在正整数m,n且1<m<n使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出m,n的值，若不存在，说明理由

Answer 1

运用基本元素法
a1+2d=7 ① 3a1+3d=12②
联立①②解得 a1=1 d=3
所以an=3n-2
a(n+1)=3n+1.Sn=a(n+1)
bn=ana(n+1)=(3n-2)(3n+1)
设数列1/bn为cn（方便书写） 则cn=1/(3n-2)(3n+1)
cn的前n项和Tn
Tn=1/1*4+1/4*7+1/7*10+......+1/(3n-2)(3n+1)
根据公式(这里的an必须是等差数列，d为an的公差）
1/a1a2...an=1/(n-1)d［1/a1a2a3...a(n-1)-1/a2a3a4...an］
解得Tn=1/3［1-1/4+1/4-1/7+.....+1/(3n-2)-1/(3n+1)］
=1/3［1-1/(3n+1)］
因为1-1/(3n+1)在n∈N+时横小于1
所以1/3［1-1/(3n+1)］＜1/3恒成立，得证

设若存在这样的正整数m,n使得T1,Tm,Tn成等比数列
则有Tm^2=T1Tn
由前面得出的结论Tn=1/3［1-1/(3n+1)］
所以Tm^2=T1Tn可化为［n/(3n+1)］(1/4)=m^2/(3m+1)^2
整理得:n=4/［(1/m+3)^2-12］
由n＞0 得(1/m+3)^2>12
即m＜1/√12-3
又m是正整数
所以符合条件的m只有
m=2或m=1，当m=1时，n不是正整数
当m=2时，n=16
所以，综上所述
m=2 n=16为所求

不懂再问，希望采纳

Answer 2

（Ⅰ）设出等差数列的公差为d，代入到a3=7和a1+a2+a3=12求出a1和d即可求出数列的通项公式，把通项公式代入到Sn= 中并根据f（x）=x3得到sn的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=anSn=（3n-2）（3n+1），所以 = = （ - ），得到bn的前n项和Tn= （1- ）＜ 得证；
（Ⅲ）由（Ⅱ）分别求出T1，Tm和Tn，因为T1，Tm，Tn成等比数列，所以 ，分别讨论m和n都为正整数且1＜m＜n即可得到存在并求出此时的m和n的值即可．