Question

关于椭圆的高中数学题

已知椭圆c x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)经点A(2,1) 离心率√2/2.(1)求椭圆方程 (2)过点（3，0）的直线l与椭圆c交与不同的两点M,N，设直线AM和直线AN的斜率分别为k(AM),K（AN），求证k(AM)+K（AN）为定值。

Answer 1

已知椭圆C： x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)经点A(2, 1)，离心率√2/2。
（1）求椭圆方程；
（2）过点(3, 0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，设直线AM和直线AN的斜率分别为k(AM)、K(AN)，求证k(AM)+K(AN)为定值。

解：
（1）因为e=c/a=√2/2，所以c^2/a^2=1/2，所以（a^2-b^2)/a^2=1/2，
所以a^2=2*b^2。 ………………①
由于椭圆经过点A(2, 1)，
所以4/a^2+1/b^2=1， ………………②
①、②联立解得a^2=6，b^2=3。
所以椭圆方程为x^2/6+y^2/3=1。

（2）当直线l垂直于x轴时，直线方程为x=3，与椭圆无交点，不符合题意，故可设直线方程为y=k*(x-3)，k为斜率。设M、N坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)。
把y=k*(x-3)代入椭圆方程得：
x^2/6+k^2*(x-3)^2/3=1，x^2+2*k^2*(x-3)^2=6，
化简得：(1+2*k^2)*x^2-12*k^2*x+(18*k^2-6)=0， …………③
Δ=(12*k^2)^2-4*(1+2*k^2)*(18*k^2-6)=……=24*(k^2-1)，
令Δ>0得，k^2-1>0，-1<k<1。
根据方程解的几何意义知x1、x2是方程③的两个实根，
由韦达定理：x1+x2=12*k^2/(1+2*k^2)，x1*x2=(18*k^2-6)/(1+2*k^2)，
由于M、N在直线l上，所以y1=k*(x1-3)，y2=k*(x2-3)，

k(AM)=(y1-1)/(x1-2)， k(AN)=(y2-1)/(x2-2)，
k(AM)+k(AN)=(y1-1)/(x1-2)+(y2-1)/(x2-2)
=[(y1-1)*(x2-2)+(y2-1)*(x1-2)]/[(x1-2)*(x2-2)]，

分子=y1*(x2-2)-(x2-2)+y2*(x1-2)-(x1-2)
=k*(x1-3)*(x2-2)+k*(x2-3)*(x1-2)-(x1+x2)+4
=k*[2*x1*x2-5(x1+x2)+12]-(x1+x2)+4
=k*[2*(18*k^2-6)/(1+2*k^2)-5*12*k^2/(1+2*k^2)+12]-12*k^2/(1+2*k^2)+4
=-4(k^2-1)/(1+2*k^2)，

分母=(x1-2)*(x2-2)=x1*x2-(x1+x2)+4
=(18*k^2-6)/(1+2*k^2)-12*k^2/(1+2*k^2)+4
=2*(k^2-1)/(1+2*k^2)，
因为k^2-1>0，故分母≠0。
分子/分母=-4(k^2-1)/[2*(k^2-1)]=-2，
即k(AM)+k(AN)=-2。

Answer 2

（1）：把（2，1）代入方程 4/a^2+1/b^2=1 由离心率 c/a=√2/2 再有b^2+c^2=a^2 可求出 a^=6 b^=3 c^=3 所以方程为 x^2/6+y^2/3=1
第二问我就不写具体过程了 只说方法了 设一条过（3,0）直线l 出来 在与椭圆方程联立 可得到一条一元二次方程 可求出x1x2 x1+x2 其中M(x1,y1) N(x2，y2) 表示出k(AM),K（AN）， 相加可化简得到一常熟 即解出