Question

设函数f(x)在（-∞，+∞）上满足f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x),且在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0

试求方程f(x)=0在[-2008,2008]上根的个数,并加以证明你的结论.
答案是802个，请问在得到f(x)是以10为周期的函数
后详细怎么做？谢谢@（自己也不太明白的请别回答……）
不好意思，打错题目了……因该是在[-2005，2005]上！！！！！！！

Answer 1

看来基本思路你都清楚了,我这里提醒几点:
1.
原来的函数的确是以10为周期,但是条件f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x)还说明该函数是以X=2和X=7轴对称的,这样根据条件: 1) f(x)是以10为周期的函数
2) f(x)以X=2和X=7轴对称
基本就可以想象函数的图形 函数有无数个对称轴...2,7,12,17,22,27...
你可以想|COS|大概就是相似的形状
2.下面主要解决你追问的问题:
由条件, 在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0,显然这两个根也满足关于x=2对称
另外,函数是关于X=7对称的, 所以在[7,14]上也只有两个根,那就是F(11)=F(13)=0
依此类推,你就可以得出所有根的数目了

Answer 2

那么方程的解应是
x1=1+10a,x2=3+10b,(a,b∈Z)
多好，两类根都不带重的
那么令x1∈[-2008,2008],x2∈[-2008,2008]
a∈[-200,200],b∈[-201,200]
这样看有803个解啊

追问

如果存在a属于（7,10],使f(x)=0怎么证明它没有呢？（不好意思，打错题目了……因该是在[-2005，2005]上！！！！！！）

追答

原函数是关于7对称的啊，由于[4,7]上无解，[7,10]内自然也无解
正负2005的话也可以啊
令x1∈[-2005,2005],x2∈[-2005,2005]
a∈[-200,200],b∈[-200,200]
有802个解

Answer 3

周期是10
在[0,10]上有两个解而且在这个区间的第2个和第4个是0
在[-10，0]也有两个解而且在这个区间的第2个和第4个是0
那么在[0，2005]上就有2×200+2=402 2001是0，2003也是0
那么在[-2005，0]上就有2×200=400 因为在[-2005,2000]上无0点的
总共有802个解！

追问

如果存在a属于（7,10],使f(x)=0怎么证明它没有呢？

追答

额，我看错了 题目没问题的
我NC了。。。

追问

拜托……我问的是如果存在a属于（7,10],使f(x)=0怎么证明它没有

追答

你可以反证啊，证明如下
假设有a属于(7,10] f(a)=0
根据题目给的条件f(7-x)=f(7+x)
这里令x=a-7
那么f(14-a)=f(a)=0
a∈(7,10]]
所以14-a∈[4,7)
也就是说存在14-a在[4,7)这个区间 有f(14-a)=0
和题目中在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0矛盾
所以假设不成立，推翻
所以(7，10]之间肯定不存在x使得f(x)=0

Answer 4

你知道周期是十的，然后分做正负考虑，正向的，1-10之间只有 f(1)=f(3)=0两个根，依次类推，正向的到2000一共400个，加上f(2001)=f(2003)=0 一共402个 ； 再看负向 由于关于二对称 所以负的是从-7 开始 f（-7）=f（-9）=0 一直到-2000 是400个 再加上-2007 我觉得应该一共是 803个 你看看呢

追问

如果存在a属于（7,10],使f(x)=0怎么证明它没有呢？（不好意思，打错题目了……因该是在[-2005，2005]上！！！！！！）

追答

关于七对称 f（8）=f（6） f（9）=f（5） f（10 ）=f（4） 因为 [0,7]上,只有f(1)=f(3)=0 所以 你懂的

追问

我不懂，麻烦详细过程

Answer 5

在区间[0,10]上有两个根，周期为10。在[-2000,2000]上有400个这样的周期，就有800个根。
f(2001)=f(1)=0，f(2003)=f(3)=0，应该有802个根

追问

如果存在a属于（7,10],使f(x)=0怎么证明它没有呢？

追答

f(x)关于x=7对称，7-4=10-7，其在（4,7]，上没根，则在（7,10]上也没根。