Question

设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)= f(2+x),f(7-x)= f(7+x),且在闭区间[0,7 ]上只有f(1)= f(3)=0

(1)试判断函数f(x)的奇偶性
(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005 ]上的跟的个数,并证明你的结论

Answer 1

分析：（1）利用条件先求出函数的周期，再求出f（-3）=f（7）≠0，而f（3）=0，f（-3）≠-f（3）根据奇偶性的定义可知该函数为非奇非偶函数；
（2）根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2008]上有402个解，在[-2008，0]上有400个解．

解：（1）由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），
得f（x）=f（4-x），且f（x）=f（14-x），
即f（4-x）=f（14-x）
∴f（x）=f（x+10），
即函数的周期为10．
又f（3）=0，而f（7）≠0，
∴f（-3）=f（7）≠0，
即f（-3）≠f（3），f（-3）≠-f（3）
故函数y=f（x）是非奇非偶函数；

（2）由（1）知，f（x）=f（x+10）
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
∵在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，∴在[4，7]上无零点，
又f（7-x）=f（7+x），故在[7，10]上无零点，故在[0，10]上仅有两个解
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，
从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[-2005，0）上有400个解，
∴函数y=f（x）在[-2005，2005]上有802个解．

Answer 2

证明：由f(x)总满足f(2-x)=f(2+x)，
令x=1，得f(1)=f(3)，
∵f(3)=3，
∴f(1)=3，
又f(-1)= -1，
∴f(-1) ≠f(1)，且f(-1) ≠ -f(1)，
即f(-x)=f(x)，及f(-x)= -f(x)都不可能恒成立，
∴f(x)既不是奇函数，又不是偶函数.

Answer 3

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Answer 4