Question

已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2-x)=f(2+x),f(7-x))=f(7+x),且在闭区间【0，7】上，只有f(1)=f(3)=0

试求方程f(x)=0在闭区间【-2011，2011】上的根的个数，并证明你的结论

Answer 1

解：（Ⅰ） 由于f（2-x）= f（2+x）， f（7-x）= f（7+x）
可知f（x）的对称轴为x=2和x=7，即f（x）不是奇函数。
即f（x）是周期函数，其周期T=2(7-2)=10
联立f（2-x）= f（2+x）
f（7-x）= f（7+x）

推得f（4-x）= f（14-x）= f（x）
即f（x）=f（x+10），T=10
又 f（1）= f（3）=0 ，而f（7）≠0
故函数为非奇非偶函数。

（Ⅱ）f（x）=f（x+10），T=10
由f（4-x）= f（14-x）= f（x）
且闭区间[0，7]上只有f（1）= f（3）=0
得f（11）= f（13）=f（-7）= f（-9）= 0
即在[-10,0]和[0,10]函数各有两个解

而f(7－x)=f(7+x)，函数f(x)在[4，7]上无根，∴函数f(x)在[7，10]上无根
∴f(x)=0在[0，10]上恰有两根为1和3，
由周期为10可知 f(x)=0的根为10n+1或10n+3的形式
所以 －2011≤10n+1≤2011 得－201.2≤n≤201，共403个
－2011≤10n+3≤2011 得－201.4≤n≤200.8，共402个
∴方程f(x)=0在在闭区间[－2011，2011]上的根的个数为805个