Question

已知数列{an}是首项a1=1/4，公比q=1/4的等比数列，设(bn)+2=3log1/4an（n∈N*),数列{cn}满足cn=an*bn.

(1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn;
(3)若cn≦1/4m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。
要详细介绍，谢啦

Answer 1

（1）an=（1/4）^n
化简后bn=3n-2是等差数列
（2）cn=(1/4)^nx(3n-2)
Sn=1/4x1+(1/4)^2x4+(1/4)^3x7+……+（1/4）^nx(3n-2) ①
1/4Sn=(1/4)^2x1+(1/4)^3x4+(1/4)^4x7+……+（1/4）^(n+1)x(3n-2)②
①-②=3/4Sn=1/4+3[(1/4)^2+(1/4)^3+(1/4)^4+……+(1/4)^n)]-(1/4)^(n+1)x(3n-2)
3/4Sn=1/2-(3n+2)/[4^(n+1)]
Sn=[2-(3n+2)/4^n]/3
(3)cn=(1/4)^nx(3n-2)
令函数y=(1/4)^nx(3n-2)
n=1,y=1/4
n=2,y=1/4
n=3,y=7/64
n=4,y=5/128
……
y′=[12n²-8n-3]x(1/4)^n
当y′≥0时,即12n²-8n-3≥0,求得n≥1/3时递增，又n≥1,即cn=(1/4)^nx(3n-2)递增
楼主题目有问题，应该是“cn≥m²/4+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围”
cn最小值为1/4,即m²+4m-5≤0恒成立m∈(-5,1)

追问

第一问可不可以在详细一点啊

追答

PS: （1） log（a^n）(b^m)=(m/n)log(a)(b)；log（a）(a)=1
(3)cn=(1/4)^nx(3n-2) 令函数y=(1/4)^nx(3n-2)
y′=（12n²-8n-3）x(1/4)^n
Sorry,上面笔误了
令y′≥0的12n²-8n-3≥0求得n≥(2+√13)/6，又n≥1所以cn单调递增
n=1或2时y=1/4，从n≥2开始cn递增，cn≥1/4
即m²+4m-5≤0恒成立m∈(-5,1)

Answer 2

一问：bn-b(n-1)=3(log1/4 a(n-1)/an)=3
二问：b1=1,bn=3n-2 cn=bn*an=(1/4)^n*(3n-2)
cn*1/4=(1/4)^(n+1) *(3n-2) 以下使用错位相减
sn-sn*1/4=1/4 + (1/4)^2*3 +(1/4)^3*3+.......+(1/4)^n*3-(1/4)^(n+1)*(3n-2)
解得SN=2/3-（1/4）^(n+1) * (4-12N)/3
三问：求CN的最大值，对F(X)=CN求导