1²+2²+3²+....+n²=?怎么证明?

 我来答
lu_zhao_long
2015-09-19 · TA获得超过1.3万个赞
知道大有可为答主
回答量:1.3万
采纳率:79%
帮助的人:2683万
展开全部

在证明之间,先说明两个公式:

  1. a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

  2. 1 + 2 + 3 + ……+n = n(n+1)/2

因为:

n³-(n-1)³ = [n-(n-1)][n²+n(n-1)+(n-1)²]

               = n² + n² - n + n² - 2n + 1

               = 3n² - 3n + 1

(n-1)³-(n-2)³ = 3(n-1)²-3(n-1)+1

(n-2)³-(n-3)³ = 3(n-2)²-3(n-2)+1

………………

4³     - 3³       = 3×4² - 3×4    +1

3³     - 2³       = 3×3² - 3×3    +1

2³     - 1³       = 3×2² - 3×2    +1

1³     - 0³       = 3×1² - 3×1    +1

把这些得到的式子左、右两边分别相加,可以得到:

n³ - 0³ = 3×(1²+2²+3²+……+n²) - 3×(1+2+3+……+n) + n×1

n³ + 3×(1+2+3+……+n) - n = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

n³ + 3×n(n+1)/2 - n = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

[2n³+3n(n+1)-2n]/2 = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

[2n³+3n²+3n-2n]/2  = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

(2n³+3n²+n)/2 = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

n(2n²+3n+1)/2 = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

n(n+1)(2n+1)/2 = 3×(1²+2²+3²+……+n²)

所以,

1²+2²+3²+……+n² = n(n+1)(2n+1)/6

凉城之家
2015-09-19 · TA获得超过680个赞
知道小有建树答主
回答量:283
采纳率:0%
帮助的人:202万
展开全部

1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6

本回答被提问者采纳
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
sumeragi693
高粉答主

2015-09-19 · 说的都是干货,快来关注
知道大有可为答主
回答量:3.8万
采纳率:79%
帮助的人:1.7亿
展开全部
n(n+1)(2n+1)/6
用恒等式(1+n)³=1+3n+3n²+n³来证
追问
可以说一下具体证法吗?
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
收起 更多回答(1)
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式