Question

证明函数y=1/xcos1/x在x=0的任何邻域内无界,但这函数不是当x 0时无穷大

Answer 1

在0的任何Δ邻域内，对任意M>0，取k使得2kπ>max{M，1/Δ}，则x=1/(2kπ)∈Δ邻域时y=2kπ>M，这说明了y在这个邻域内无界。

要证明函数在x趋于0时不时无穷大，即证明存在A>0，对任意Δ邻域，都存在x∈(-Δ，Δ)使|y|<=A。要证明很简单，取A=1即可。此时对任意Δ邻域，取k使得(k+1/2)π>1/Δ，则x=1/[(k+1/2)π]∈Δ邻域，且|y|=0<A。