Question

2的a次方+4的b次方=2的c次方，4的a次方+2的b次方=4的c次方，求c的最小值

Answer 1

令2^a＝A、2^b＝B、2^c＝C，则：A＋B^2＝C、A^2＋B＝C^2，
∴（C－B^2）^2＋B＝C^2，∴B^4－2CB^2＋B＝0，∴B^3－CB＋1＝0，
∴C＝（1＋B^3）/B＝1/B＋B^2＝1/（2B）＋1/（2B）＋B^2≧3×（1/4）^（1/3），
∴2^c≧3×（1/4）^（1/3），
∴c≧㏒(2)［3×（1/4）^（1/3）］＝－2/3＋㏒(2)3。
∴c的最小值为：㏒(2)3－2/3。

追问

从第二排起，为什么B^4－2CB^2＋B＝0变成了B^3－CB＋1＝0，而不是B^3－2CB+1 ？

追答

写错了，更正如下：
令2^a＝A、2^b＝B、2^c＝C，则：A＋B^2＝C、A^2＋B＝C^2，
∴（C－B^2）^2＋B＝C^2，∴B^4－2CB^2＋B＝0，
∴B^3－2CB＋1＝0，
∴2C
＝（1＋B^3）/B
＝1/B＋B^2
＝1/（2B）＋1/（2B）＋B^2
≧3×（1/4）^（1/3），
∴2×2^c≧3×（1/4）^（1/3），
∴2^c≧（3/2）×（1/4）^（1/3），
∴c≧㏒(2)［（3/2）×（1/4）^（1/3）］＝－2/3＋㏒(2)3－1。
∴c的最小值为：㏒(2)3－5/3。

Answer 2

a=b=0，c=1