Question

已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1

答案是fx=x^2+2x-2,可是如果假设X=Y=1是，f（2）=7，与答案并不相符合呀？！

Answer 1

(1)令y=1,则f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1.
∴f(x+1)-f(x)=2x+4.
∴当x∈N*时，有
f(2)-f(1)=2×1+4，
f(3)-f(2)=2×2+4,
f(4)-f(3)=2×3+4,
……
f(x)-f(x-1)=2(x-1)+4
将上面各式相加得f(x)-f(1)=2(1+2+...+x-1)+4(x-1)
=2·(x-1)(x-1+1)/2+4x-4
=x²+3x-4
∴f(x)=x²+3x-3

Answer 2

题目有问题f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1=f(y+x)=f(x)+f(y)+2x(x+y)+1,(y-x)(x+y)=0？假设题目是正确的。。。做下去有(1)f(n+1)=f(n)+f(1)+2(n+1)+1=f(n)+2n+3f(n)-f(n-1)=2n+1f(n-1)-f(n-2)=2n-1...f(2)-f(1)=5f(n)-1=(n-1)(n+3),f(x)=x^2+2x-2,x∈N（2）令g(x)=(a+7)x-(a+10).g(x)过定点(1,-3)。f(x)的顶点为(1,1)。将原不等式看成是a的函数a>=-(x^2+9x-12)/(x-1)在x>=2的解用y=x-1替换a>=-(y^2+11y-2)/y,y>=1.令h(y)=-(y^2+11y-2)/y.h‘(y)=-(y^2+2)/y^2<0所以h(y)单调递减h(y)<=h(1)=10.所以a>=10

Answer 3

1.
证：
设x2=x1+m (m为>0的常数)
由x>0时，f(x)>1得f(m)>1
f(x2)=f(x1+m)=f(x1)+f(m) -1>f(x1)+1-1=f(x1)
f(x2)>f(x1)
函数f(x)是R上的增函数。
2.
由解集构造不等式
(x+3)(x-2)<0
x²+x-6<0
x²+x-4<2
此不等式与f(x²-ax+5a)<2为同一个不等式
f(x²-ax+5a)=x²+x-4
令f(x)=kx+b
k(x²-ax+5a)+b=x²+x-4
整理，得
(k-1)x²-(ak+1)x+5ak+b+4=0
要对任意x，等式恒成立，只有
k-1=0
ak+1=0
5ak+b+4=0
解得k=1 a=-1 b=1
f(x)=x+1
f(1)=1+1=2 f(8)=8+1=9