Question

已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ，曲线y=f(x)在点（1，f（1））处切线方程为x+2y-3=0

如果当x＞0，且x≠1时，f(x)＞lnx/(x-1) + k/x ，求k的取值范围

Answer 1

我来试试吧....

解：f(1)=b,
由题，x+2y-3=0过点(1,b)
代入解得b=1
相切，有f'(a)=a/2-b=a/2-1=-1/2
解得a=1
故f(x)=lnx/(x+1) +1/x
x>0且x≠1时，f(x)＞lnx/(x-1) + k/x
整理得
k<1-2xlnx/(x-1)(x+1)在x>0且x≠1时恒成立
设h(x)=xlnx/(x-1)(x+1),原问题等价于求h(x))在x>0且x≠1上最大值
h'(x)=[-x²lnx-lnx+x²-1]/(x²-1)²
令g(x)=-x²lnx-lnx+x²-1
g'(x)=2x-2xlnx-x-1/x
g"(x)=1/x²-2lnx-1
g'"(x)=-2/x³-2/x<0
故g"在定义域内↓，g"(1)=1-1=0
0<x<1,g">0.g'↑；1<x，g"<0,g'↓
g'(x)<g'(1)=0,故g(x)在定义域内↓,g(1)=1-1=0
0<x<1,g>0.h'>0,h↑；1<x，g<0,h<0,h↓
h(x)<h(1)=lim(x→1)xlnx/(x-1)(x+1)=1/2
从而1-h(x)>1/2
于是k的取值范围是（-∞，1/2）

Answer 2

由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）
f′(x)=a(x+1/x -lnx)/(x+1)^-b/x^
由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2 ，且过点（1，1），故 f(1)=1 f′(1)=-1/2
即b=1 a /2 -b=-1/ 2 解得a=1，b=1
由（Ⅰ）知f(x)=lnx /x+1 +1/ x ，所以
f(x)-(lnx/x-1+k/ x )=1 /1-x2 (2lnx+(k-1)(x2-1)/x）
考虑函数h(x)=2lnx+(k-1)(x2-1) /x （x＞0），则
h′(x)=(k-1)(x2+1)+2x /x2
（i）设k≤0，由h′(x)=k(x2+1)- (x-1)2 /x^知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得1 /1-x2 h(x)＞0；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得1 /1-x2 h（x）＞0
从而当x＞0，且x≠1时，f（x）-（lnx/ x-1 +k /x ）＞0，即f（x）＞lnx/ x-1 +k /x ．
（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，1 /1-k ）时，（k-1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而
h（1）=0，故当x∈（1，1 /1-k ）时，h（x）＞0，可得1 /1-x^ h（x）＜0，与题设矛盾．
（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得1 /1-x^ h（x）＜0，与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为（-∞，0]

Answer 3

/(x+1)在对数符号里面吗？