a,b,c为正数,abc=1,求证1/(1+a+b)+1/(1+b+c)+1/(1+a+c)<=1
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证明：由题，a,b,c为正数,abc=1,需证1/(1+a+b)+1/(1+b+c)+1/(1+a+c)≤1
需证明
通分(1+a+b)(1+b+c)+(1+a+c)(1+a+b)+(1+b+c)(1+a+c)≤(1+a+b)(1+b+c)(1+a+c)
需证明 3+4∑a+3∑ab+∑a²≤1+2∑a+∑a²+3∑ab+∑ab(a+b)+2∑abc
代入abc=1
需证明 2∑a ≤ ∑ab(a+b)
2(a+b+c)≤a²b+b²c+c²a+ab²+bc²+ca²
由均值不等式得 a²b+ca²≥2a√(abc)=2a
b²c+ab²≥2b
c²a+bc²≥2c
从而 a²b+b²c+c²a+ab²+bc²+ca²≥2a+2b+2c 得证
证明：由题，a,b,c为正数,abc=1,需证1/(1+a+b)+1/(1+b+c)+1/(1+a+c)≤1
需证明
通分(1+a+b)(1+b+c)+(1+a+c)(1+a+b)+(1+b+c)(1+a+c)≤(1+a+b)(1+b+c)(1+a+c)
需证明 3+4∑a+3∑ab+∑a²≤1+2∑a+∑a²+3∑ab+∑ab(a+b)+2∑abc
代入abc=1
需证明 2∑a ≤ ∑ab(a+b)
2(a+b+c)≤a²b+b²c+c²a+ab²+bc²+ca²
由均值不等式得 a²b+ca²≥2a√(abc)=2a
b²c+ab²≥2b
c²a+bc²≥2c
从而 a²b+b²c+c²a+ab²+bc²+ca²≥2a+2b+2c 得证
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