Question

若关于x的方程|x|/(x-1)=kx^2有四个不同的实数根,求k取值范围

为什么我直接画y=|x|/(x-1)与y=kx^2的图像不对啊 图为y=|x|/(x-1)，看图怎么也不可能与y=kx^2有4个交点啊

Answer 1

解
对于方程|x|/(x-1)=kx^2
显然,x≠1
x=0是他的一个根
又由于方程有四个不同的实数根
因此除x=0以外还应当有三个实数根
当x≠0时,方程变为k=1/[|x|(x-1)]
由于x≠0、k=0时方程无解
因此k≠0
于是方程再次变形为
|x|(x-1)=1/k
令y=|x|(x-1) 则有
① y=x(x-1) =x²-x=（x-1/2）²-1/4 (x＞0 )
② y=-x(x-1) =-x²+x=-（x-1/2）²+1/4 (x＜0)
显然① ②是两条分段连接的抛物线,
第①条在坐标系的右半部分（x＞0 ）,开口向上,顶点为（1/2,-1/4）
第②条在坐标系的左半部分(x＜0),开口向下,顶点为（1/2,1/4）但只能取x＜0的部分
两段的交点在（0,0）处
显然要使这两段抛物线与直线y=1/k有三个交点必须使
-1/4≤1/k＜0 即-4≤k＜0
所以使方程|x|/(x-1)=kx^2有四个不同的实数根的k取值范围是[-4,0)